Quelltext der Seite MINT-Fortbildung an der Johann-Rieder-RS Rosenheim, 11. März 2014, Grundlagen mathematischer Projektstunden; POLYDRON

[[Datei:POLYDRON.jpg| miniatur|300px|Bausatz POLYDRON]]

'''Mathematische Projektstunden''', -tage oder gar -wochen sind organisatorische Rahmenbedingungen, die einen '''erkenntnisorientierten Mathematikunterricht''' fördern können (Gedanken hierzu: [[Medium:Wortmeldung.pdf|"Eine Wortmeldung der Königsdisziplin"]]). Veränderte organisatorische Rahmen erfordern allerdings auch dazu passende Themen und Aufgaben, sprich: passende '''Mathematische Lernumgebungen'''. Ausführliche Gedanken hierzu will die folgende Studienarbeit anstoßen:

(2013), W. Lentner, "Mathematische Lernumgebungen für Projekttage"
* [[Medium:HausarbeitTitel.pdf|Titelseite und Inhaltsverzeichnis Hausarbeit]]
* [[Medium:HausarbeitVolltext.pdf|Volltext Hausarbeit]]

In den beiden Workshops der MINT-Fortbildung an der Johann-Rieder-RS, Rosenheim, werden einige Lernumgebungen vorgestellt, die am Lehrplan der 5. und 6. Klassen der bayerischen R6 anknüpfen:
# '''POLYDRON''' bzw. '''FRAMEWORKS''' als Material, um handlungs- und erkenntnisorientiert die Themen "''räumliche, geometrische Körper''", "''systematisches Abzählen (Daten und Zufall, Baumdiagramm)''" zu vertiefen.
## Platonische Körper bauen und untersuchen
## Würfelsteckbriefe
## Einfache Würfel färben (6 x 1)
## Größere Würfel färben (6 x 4)
# '''Türme von Hanoi''' (Stacktiefe trainieren, Terme entwickeln, Visualisieren, geeignet bis 8. Klasse)
## Das Delegationsverfahren (Theaterspielen)
## Wie viele Züge, wie viele Stellungen, wie viele Züge minimal (Terme über Terme)
## Sirpinski-Dreiecke
# '''RUMIS''' (Primfaktorzerlegung, systematisches Abzählen, Volumenberechnung, 5. und 6. Klasse)
## Alle Teile in einem Würfel verbauen
## Alle Teile mehrerer Farben in einem Würfel verbauen
## Quader bauen
## Mehrere Würfel bauen
# '''Der SOMA-Würfel''' als RUMIS-Variante

Weiterführende Beschäftigung mit den Themen sowie weitere Lernumgebungen bieten [https://mint.lentner.net/images/e/e1/FlyerMathematik.pdf Mathematische Tage für Mathematikfachschaften Ihrer Schule (Flyer)].


==POLYDRON und FRAMEWORKS: Würfel färben und Polyeder basteln==
Mit dem System POLYDRON bzw. FRAMEWORK (... zu beziehen über das [http://mathematikum.de Mathematikum in Gießen]; sehr zu empfehlen!) lassen sich einfache Würfel in verschiedenen Farben bauen. 

[[Datei:4*6.jpg.jpg | thumb | 200px ]]

*'''1: Einfache Steckbrief-Aufgaben:'''
** 1a: Ich bin ein Würfel
*** ... und bin dreifarbig.
*** ... Ein blaues Quadrat berührt dabei alle drei roten Quadrate,
*** ... ein weiteres blaues Quadrat berührt nur zwei rote Quadrate,
*** ... ein gelbes Quadrat berührt nur ein blaues Quadrat.
** 1b: Mein Körper besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken,
*** ... dabei werden immer gelbe Dreiecke mit roten verbunden.
*** ... Es gibt vier gelbe Dreiecke
*** ... und es werden nur zwei Farben benutzt.

*'''2: Schwieriger ist: Gibt es immer nur einen solchen Körper oder sogar mehrere?'''
** 2a: Ich bin ein dreifarbiger Würfel und habe '''keine bunte''' Kante (eine ''bunte Kante'' ist das, was man von Grenzen politischer Karten gewohnt ist, nämlich eine Kante mit zwei verschiedenfarbigen Nachbarflächen)
** 2b: Ich bin ein dreifarbiger Würfel und habe '''eine bunte Kante'''
** 2c: Ich bin ein dreifarbiger Würfel und habe '''zwei bunte Kanten'''
** '''u. s. w.'''

* '''3: Forschungsprojekt für eine Mathe-Freizeit: Welche dreifarbigen Würfel''' (bzw. wie viele) '''gibt es denn insgesamt ??? 
** Projektseite: [[Matheprojekt: Würfel färben 1*6]]

* '''4: Schönes Färbeproblem der schärferen Sorte''' (Prof. Steinlein LMU)
** [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fmwus/ Förderverein der LMU - Mathematik]; folgen Sie dem Link >>> Zeitschrift >>> DOWNLOAD-Archiv >>> Nummer 20 (Aufgabe) und 21 (Verschärfung + Lösung)
** Dokumentation einer Mathematik-Freizeit, auf der das Problem mit Schülern gelöst wurde: [[Würfel färben 6*4]]

===Platonische Körper===
Würfel sind Mitglied einer sehr erlesenen Familien von Körpern, den '''Platonischen Körpern'''. Diese Platonischen Körper sind sozusagen das regelmäßigste, was es bei räumlichen Vielecken (Polyedern) gibt.
* Sie bestehen aus lauter gleichen regelmäßigen Vielecken
* Es gibt einen Mittelpunkt, von dem sind ...
** alle Flächen gleich weit weg,
** alle Kanten (in Gestalt der Mittelpunkte) gleich weit weg und
** alle Ecken gleich weit weg.

Mehr unter ...
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Platonische_K%C3%B6rper Platonische Körper bei WIKI]

'''Warum gibt es nur diese 5 Platonischen Körper?'''

Beweis: Mit POLYDRON alle möglichen Hütchen an den Ecken ausprobieren ...
*gleichseitige Dreiecke ...
**3 an einem Eck >>> '''Tertraeder'''
**4 an einem Eck >>> '''Oktaeder'''
**5 an einem Eck >>> '''Ikosaeder'''
**6 an einem Eck >>> Fläche ist ausgefüllt, denn 6 mal 60 Grad ist 360 Grad, also keine Wölbung
**7 an einem Eck haben nicht Platz, mehr erst recht nicht
*Quadrate ...
**3 an einem Eck >>> '''Würfel''' (Hexaeder)
**4 an einem Eck >>> Fläche ist ausgefüllt, denn 4 mal 90 Grad ist 360 Grad, also keine Wölbung
**5 an einem Eck haben nicht Platz, mehr erst recht nicht
*regelmäßige Fünfecke ...
**3 an einem Eck >>> '''Dodekaeder'''
**4 an einem Eck >>> haben nicht Platz, weil 108 Grad mal 4 > 360 Grad, mehr erst recht nicht
*regelmäßege Sechsecke ...
**3 >>> Fläche ist ausgefüllt, denn 3 mal 120 Grad ist 360 Grad, also keine Wölbung
**4 an einem Eck haben nicht Platz, mehr erst recht nicht

===Eulersche Polyederformel===
Wie viele Ecken, Kanten und Flächen haben die Platonischen Körper?

Ergebnisse in: [http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Polyederformel Tabelle in WIKI]

Ist es Zufall oder eine Eigenschaft der Platonischen Körper, dass der Term 

 $E=Ecken + Flächen - Kanten$ 

immer das Ergebnis 2 liefert? '''Teste mit anderen Polyedern!'''

'''Scheint für alle Körper zu stimmen!!! (Eulerscher Polyedersatz)'''