Fixpunktfreie Permutationen

Permutationen per Hand aufzählen

Alle Permutationen der Zahlen 1 2 3 4:

• An erster Stelle ist die 1, ... dann kann an zweiter Stelle 2, 3 oder 4 sein
  • 1 2 3 4
  • 1 2 4 3
  • 1 3 2 4
  • 1 3 4 2
  • 1 4 2 3
  • 1 4 3 2
• An erster Stelle ist die 2, ... dann kann an zweiter Stelle 1, 3 oder 4 sein
  • 2 1 3 4
  • 2 1 4 3
  • 2 3 1 4
  • 2 3 4 1
  • 2 4 1 3
  • 2 4 3 1
• An erster Stelle ist die 3, ... dann kann an zweiter Stelle 1, 2 oder 4 sein
  • 3 1 2 4
  • 3 1 4 2
  • 3 2 1 4
  • 3 2 4 1
  • 3 4 1 2
  • 3 4 2 1
• An erster Stelle ist die 4, ... dann kann an zweiter Stelle 1, 2 oder 3 sein
  • 4 1 2 3
  • 4 1 3 2
  • 4 2 1 3
  • 4 2 3 1
  • 4 3 1 2
  • 4 3 2 1

... sind also insgesamt 24 Permutationen. Wir checken sie darauf, ob sie Fixpunkte enthalten:

• 1 2 3 4 , 1,2,3,4 sind Fixpunkte
• 1 2 4 3 , 1,2 sind Fixpunkte
• 1 3 2 4 , 1,4 sind Fixpunkte
• 1 3 4 2 , 1 ist ein Fixpunkt
• 1 4 2 3 , 1 ist ein Fixpunkt
• 1 4 3 2 , 1,3 sind Fixpunkte
• 2 1 3 4 , 3,4 sind Fixpunkte
• 2 1 4 3 fixpunktfrei
• 2 3 1 4 , 4 ist ein Fixpunkt
• 2 3 4 1 fixpunktfrei
• 2 4 1 3 fixpunktfrei
• 2 4 3 1 , 3 ist ein Fixpunkt
• 3 1 2 4 , 4 ist ein Fixpunkt
• 3 1 4 2 fixpunktfrei
• 3 2 1 4 , 2,4 sind Fixpunkte
• 3 2 4 1 , 2 ist ein Fixpunkt
• 3 4 1 2 fixpunktfrei
• 3 4 2 1 fixpunktfrei
• 4 1 2 3 fixpunktfrei
• 4 1 3 2 , 3 ist ein Fixpunkt
• 4 2 1 3 , 2 ist ein Fixpunkt
• 4 2 3 1 , 2,3 sind Fixpunkte
• 4 3 1 2 fixpunktfrei
• 4 3 2 1 fixpunktfrei

... also sind 9 von 24 Permutationen fixpunktfrei:

Mit anderen Worten ...

• zieht man eine Permutation per Los, dann sind 9 von 24 = 9/24 = 0,375 = 37,5% fixpunktfrei
• Pierre Montmort gewann 62,5% aller Spiele, nur 37,5% verlor er
• mit ungefähr 1/3 Wahrscheinlichkeit tanzt mindestens ein Paar unter vier Paaren zusammen, wenn ihre Paarungen gelost werden
• sitzt in 62,5% aller Fälle mindestens eine von 4 Schülerinnen in der zweiten Prüfung am selben Platz

-)

Was passiert, wenn die zahlen immer mehr werden?

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