Würfel färben 6*4, Phase 1

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Dokumentation von Lösungen mit 2D-Bastelbogen

Dokumentation von Lösungen mit 3D-Bastelbogen

Welche Seitenwände gibt es? (Erfahrungen (Wissen) anderen zur Verfügung stellen)

• Ich würde zuerst den Schülern von der Geschichte der Aufgabe erzählen und sie einfach ein bisschen mit POLOYDRON rumprobieren lassen. Warum beschäftigt sich ein Mathematiker wochenlang mit einer Spaßaufgabe? (Färbungsprobleme auf Graphen haben große Bedeutung in der Mathematik, bei Landkarten müssen auch benachbarte Länder verschieden gefärbt sein, sonst sieht man die Grenze nicht richtig, Vierfarbenproblem, ...).
  • POLYDRON-Homepage/Videos
  • POLYDRON mit nur Quadraten auszuleihen über die LMU "Mobiles Mathe-Labor MML"
• Andere Motivation: Siehe Startseite!
• Den Schülern 10 bis 12 POLYDRON-Quadrate von jeder Farbe geben und nicht verraten, dass 8 je Farbe reichen würden!
• Bevor gebastelt wird, muss jeder Schüler ein Schätzung abgeben, wie viele verschiedene Würfel es wohl gibt (Schätzungen auf Plakat erfassen und darstellen!).
• Während des Probierens zulassen, dass sie ihre Schätzung korrigieren (merkt man, dass es einfach ist, so einen Würfel zu bauen, dann gibt es wohl viele Würfel; ist es schwierig, dann gibt es wohl nicht viele. Zu diesem Urteil unbedingt provozieren!!!). Analogie: Erwartet man viel von einem Mann, dann gibt es wenige, die alles erfüllen, erwartet man wenig, gibt es viele, die das erfüllen! Also ist ihre Anstrengung ein Indiz für die Vielfalt der Lösungen!
• Gefundene Würfel coram publico herzeigen und möglichst genau beschreiben.
• Besonderheiten an den Würfeln hervorheben (... hat nur zweifarbige Seiten, ... nur dreifarbige, ... gibt es gemischte?, ... der hat ja auch zweifarbige, ... sind die gleich?, ...). *
• Bevor man eine Lösung wieder auseinanderbaut, muss man also die gefundenen Lösungen festhalten. Dazu 2D- oder 3D-Bögen.
  • 2D- und 3D-Bastelbögen (Seite 1/2)
• Die Bastelbögen in Gallerie ausstellen, den POLYDRON-Würfel wieder zerlegen und weitersuchen. Daher haben die Schüler einen dicken Filzstift in den drei Farben rot-blau-gelb, Schere und Kleber dabei. Klassifikationsfrage im sokratischen Dialog vorbereiten: "Ist das ein neuer Würfel oder ist er identisch mit einem, den wir schon haben?", "Was hilft, um nicht Feld für Feld bei jeder möglichen Drehung vergleichen zu müssen?", "Welche drehinvarianten Merkmale könnte es noch geben?", ... . Nach und nach die Galerie ordnen: "Würfel mit 2-farbigen Seiten", "Würfel mit 3-farbigen Seiten", "... gemischte Würfel", "gleiche Seiten gegenüber/benachbart", ...
• Klar machen, dass wir eine Forschungsgemeinschaft sind. Wer Erfahrungen hat, die allen weiter helfen könnten, sollte diese (mit Plakat) allen vortragen. Ständige Ausstellung der Lemmatas.
• Je nachdem wie viel Zeit vorhanden ist, die folgenden Erfahrungen geduldig kommen lassen oder im Sokratischen Dialog befördern. Erfahrungsgemäß kommen die folgenden wichtigen Ergebnisse auch von den Schülern nach und nach alleine:

Erfahrung 1: Die Eckwürfelchen haben immer alle drei Farben, weil jede der drei Seiten mit jeder Seite Kontakt hat und keine Farbe doppelt vorkommen darf. Es gibt nur zwei seitenverkehrte solche Eckwürfel. Man könnte also auch solche Eckwürfel vorbereiten und die großen Würfel versuchen, aus diesen zusammen zu bauen.

Erfahrung 2: Die Seitenflächen können nur auf zwei verschiedene Arten gefärbt sein. Man könnte also auch diese Seitenflächen vorbereiten und versuchen, die großen Würfel aus diesen Bausteinen aufzubauen:

• Mit zwei gleichen Farben (jeweils diagonal)
• Mit drei Farben (davon eine zweimal vorkommend, diagonal angeordnet)

Weil diese sechs Seitenflächen immer wieder gebraucht werden, bekommen sie Namen. Die Seitenflächen mit Namen als Plakate aufhängen:

Anna	Bella	Clara	Ulli	Valli	Willi

Die folgenden Erfahrungen oder Fragestellungen verstärken/veröffentlichen, wenn sie von den Schülern formuliert werden:

• Haben uns die Erfahrungen 1 + 2 geholfen? (Geht's jetzt schneller?)
• Welche gefundenen Würfel sind ähnlich (zum Beispiel nur durch Austauschen der Farben entstanden), welche haben ganz grundsätzlich andere Bauart?
• Kathegorisieren (In Typen einteilen): z.B.
  • nur zweifarbige (weibliche) Seitenflächen (+ Vertauschungen)
  • nur dreifarbige (männliche) Seitenflächen (+ Vertauschungen)
  • zwei zweifarbige (Weibchen) gegenüber, vier dreifarbige (Männchen) drumherum ... (+ Vertauschungen)
  • ...
• Welche anderen Kategorien (Typen) könnte es noch geben?
  • lauter gleiche Seitenflächen?
  • 2 Ullis, 2 Vallis, keine Willis?
  • ...
  • geht es dann mit den Farben auf?

Man kann diese wichtige Diskussion nach und nach strukturieren: Beschriftete Plakate auf den Boden legen. Gefundene Würfel darauf einordnen. Die Klassen schrittweise verfeinern. Irgendwann zu Baumdiagramm übergehen. Immer nur soviel wie nötig verraten!

Führen, wenn nötig - Selbst entdecken lassen, wenn möglich!

Hier steht die Ausbeute an motivierenden Erkenntniserlebnissen der Schüler wie sooft im Zielkonflikt mit der Eitelkeit des Lehrers!

• Es ist gar nicht so leicht festzustellen, ob zwei gefundene Würfel gleich sind!
• Was heißt gleich? (seitenverkehrt?), durch Drehung ineinander überführbar?

Wenn viele Schüler die Typen ins Auge gefasst haben, vergeblich versuchen, manchen Typen zu realisieren, erkannt haben, dass manche Typen nicht möglich sind, ist irgendwann die Zeit reif für Professor Steinleins zentralen Trick. Er versuchte genau dieser Frage nachzugehen: Welche Typen sind denn möglich, damit die Anzahlen der Farben insgesamt wieder aufgehen, d.h. pro Farbe 8 Stück?

Wenn sich fast alle das fragen, unterbrechen und zu Phase 2 übergehen: