CUBE.CODES: Buchstabe O

Standardbeispiel

Das beliebteste Muster ist der Buchstabe O auf allen Seiten - anders ausgedrückt: Der Punkt auf allen Seiten.

Du kannst ihn mit CUBE.CODES ganz einfach üben.

Eine viel diskutierte Frage im Netz ist bei allen Mustern (so auch hier) immer wieder, welche Farbvarianten dabei möglich sind.

Farbvarianten, wenn man die Lösungen "malen" darf

Mit der Forscherklasse 5_21/22 beschäftigten wir uns damit, welche Farbvarianten man mit MS-paint "malen" kann. Unsere ersten Vermutungen (Umfrage mit Antworten aus dem Bauch raus) sind nach etwas basteln: 36 | 37 | 33 | 30 | 50 | 49 | 32 | 60 | 16, ... bin gespannt ;-). Nach einer kleinen MS-paint-Einweisung haben wir eine Form entwickelt, in der wir die Lösungen dokumentieren und die Würfel von allen Ansichten aus nachkontrollieren konnten:

• 

  irreguläre Farbvariante:
  Ecke blau-weiß-grün gibt es nicht

• 

  irreguläre Farbvariante:
  Die Mittelpunkte grün-blau sind nicht benachbart

Als immer mehr irreguläre "Gemälde" auftauchten (sie wären auch am Würfel möglich, wenn man die Sticker abziehen und umkleben würde), ließen wir Farbvarianten nur noch dann gelten, wenn man sie am Orginal-RUBIK-Würfel herzeigen konnte. Nach einigen Stunden wuchs dann die folgende Galerie, von der wir aber nicht wussten, ob sie vollständig ist:

• 

  Mia, 5. Klasse

• 

  Julia, 5. Klasse

• 

  Hannah, 5. Klasse

• 

  Louisa, 5. Klasse,
  Mia, 5. Klasse,
  Ellie, 5. Klasse

• 

  Jasmin, 5. Klasse,
  Mia, 5. Klasse

• 

  Ellie, 5. Klasse,
  Lina, 5. Klasse

• 

  Theresa, 5. Klasse,
  Ellie, 5. Klasse

• 

  Mia, 5. Klasse

Wie viele Farbvarianten gibt es insgesamt?

Wir haben 6 Farben (1=weiß, 2=gelb, 3=grün, 4=blau, 5=rot, 6=orange). Eine Farbvariante (beim folgenden Beispiel Mias erste Lösung) könnte man so darstellen:
123456 (Mittelpunktsfarben)
652134 (Ringfarben)

Die 6 Ringe um die Mittelpunkte werden also vertauscht. Wenn zwei gleiche Zahlen untereinander stehen, entstehen einfarbige Flächen, also dürfen immer nur verschiedene Zahlen untereinander stehen. Merkt man sich die Bedeutung und Reihenfolge der Farben, würde es auch ausreichen nur die zweite Zeile zu notieren:
Mia: 652134

Notiert man alle Vertauschungen (Permutationen) von 6 Zahlen (wobei keine Zahlen an ihren originalen Positionen stehen dürfen), hätte man alle Farbvarianten. Ash aus der 9. Klasse hat im Netz die Info gefunden, dass es 265 Farbvarianten gibt!

• WIKIPEDIA-Artikel hierzu
• Da das Problem sog. fixpunktfreier Permutationen oft auftritt, gibt es dazu spannende mathematische Tricks. Eine nette andere Formulierung wäre: 6 Ehepaare gehen auf eine Party zum Tanzen. Beim ersten Tanz werden die Partner gelost. Jetzt kann sein, dass Ehepaare zusammen tanzen oder auch mal nur mit neuen Partnern. 265 von 720 möglichen Tanzpaarungen bringen nur neue Partner zusammen. Mehr im WIKIPEDIA-Artikel.
• Warum zum Teufel 265?
• Eine Antwort von Mathematikern findet Ihr im WIKIPEDIA-Artikel :-(
• Eine Antwort mit Schulmathematik
• Eine Antwort mit CUBE.CODES
• 295 ist aber noch nicht das Ende: Denn die 265 fixpunktfreien Permutationen notieren ja nur die verschiedenen Wände(sets) des Würfels, die es gibt. Man kann diese ja auch noch auf verschiedene Arten zusammensetzen. Spannendes Matheprojekt! ;-)
• Aber welche Farbvarianten kann man denn nun am RUBIK-Würfel wirklich verwirklichen?

Idee zum systematischen Abzählen

Die folgende Idee stellt sicher, dass nur Würfelchen verwendet werden, die es tatsächlich an einem orginal gefärbten Würfel gibt und dass das feste Achsenkreuz nicht missachtet wurde: Der Würfel besteht beim Punktemuster O aus zwei Teilen, die starr sind, also nicht verändert werden können: 1. Das Kreuz der Mittelpunkte, 2. Der Ring der 6 Ringe auf den Seiten, denn die Ecken bestimmen genau, welche Kanten benachbart sein müssen.

Die einzige Freiheit ist, den Ring wie einen Mantel abzunehmen, ihn irgendwie zu drehen und wieder anzuziehen ... . Dabei dürfen allerdings kein Ring und Mittelpunkt, die aufeinander zum Liegen kommen, die gleiche Farbe haben!
Viel Möglichkeiten gibt's da ja nicht ...

Wie kann man also den rechten Mantel drehen?

Sechs Möglichkeiten, welche Ringfarbe oben ist + jeweils vier Möglichkeiten, die Mäntel dann noch um die senkrechte Achse zu drehen ... :

Und welche Punktemuster kommen dabei raus?

• 

  weiß oben
  grün vorne
  alles einfarbig

• 

  weiß oben
  rot vorne
  weiß einfarbig

• 

  weiß oben
  blau vorne
  weiß einfarbig

• 

  weiß oben
  orange vorne
  weiß einfarbig

• 

  grün oben
  weiß vorne
  ungeklärt

• 

  grün oben
  orange vorne
  getestet mit ...

• 

  grün oben
  gelb vorne
  rot einfarbig

• 

  grün oben
  rot vorne
  getestet

• 

  rot oben
  weiß vorne
  

• 

  rot oben
  grün vorne
  grün einfarbig

• 

  rot oben
  gelb vorne
  rot einfarbig

• 

  rot oben
  blau vorne
  

• 

  blau oben
  weiß vorne
  rot einfarbig

• 

  blau oben
  rot vorne
  

• 

  blau oben
  gelb vorne
  

• 

  blau oben
  orange vorne
  

• 

  orange oben
  weiß vorne
  

• 

  orange oben
  blau vorne
  

• 

  orange oben
  gelb vorne
  

• 

  orange oben
  grün vorne
  grün einfarbig

• 

  gelb oben
  grün vorne
  grün einfarbig

• 

  gelb oben
  orange vorne
  

• 

  gelb oben
  blau vorne
  rot einfarbig

• 

  gelb oben
  rot vorne
  

... ergibt 14 Lösungen!
(... die entstehen, wenn man den Ring orginaler Würfelchen abzieht und irgendwie verdreht wieder so aufsetzt, dass nur zweifarbige Flächen entstehen)

CUBE.CODES