MINT-Fortbildung an der Staatlichen Realschule Bruckmühl, 26. Oktober 2022, Tetris, Soma, Rumis & Co
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RUMIS ist ein Brettpsiel, in dem es gilt, Blöcke so aneinander zu legen, dass man möglichst viele Teile auf der Oberseite erobert. Dabei müssen nicht einmal eine Hand voll Regeln befolgt werden. Strategische Tiefe entfaltet das vielfach prämierte Spiel durch die besondere Form der Teile, der Spielfelder und das gegenseitige "In-die-Quere-kommen" der Mitspieler.
Mathematisch bergen die Teile eine spannende Vielfalt. Die meisten Kinder und Erwachsenen beginnen sofort, mit den Teilen besondere Figuren zu bauen, was am Ende ziemlich knifflig werden kann. Um natürlich sich stellende Fragen zu beantworten, kann man Volumenrechnung für Würfel und Quader, die Primfaktorzerlegung und Teilbarkeitsargumente anwenden. Auch einfache Abzähltechniken können verwendet werden.
Das klassische Spiel, sowie das Formen legen, schult enorm das räumliche Denkvermögen und eignet sich aufgrund der Lehrplan- und Alterspassung besonders für Projekte in den 5. Klassen.
Inhaltsverzeichnis
Welche Teile gibt es?
Es ist schon eine schöne Abzählaufgabe, sich zu überlegen, welche Teile es geben kann. Mit einem Baumdiagramm kann man schrittweise feststellen, welche Teile aus zwei Würfeln es gibt - wie man an diese anlegen kann (= alle Teile aus drei Würfel) - wie man wiederum an diese anlegen kann (= alle Teile mit 4 Würfeln).
- 2er-Stab
- 3er-Stab
- Ergänzung am Ende:
- 4er-Stab
- Ergänzung an der Seite:
- T
- L
- Ergänzung am Ende:
- 3er-Winkel
- Ebene Ergänzung identisch mit oben
- Ebene Ergänzung zu neuen Teilen
- Treppe
- Quadratische Platte 2x2
- Räumliche Ergänzung
- Am rechten Ende des 3er-Winkels (rechte Schraube)
- Am Knick des 3er-Winkels (Dreibein)
- Am linken Ende des 3er-Winkels (linke Schraube)
- 3er-Stab
= Insgesamt 11 Stück
Farbsets
- In der Grundausstattung gibt es die 11 Teile in jeweils 4 Farben (gelb, rot, blau, grün)
- In der Ergänzungsschachtel sind die Teile nochmal in lila und orange
Wenn man die ersten Spiele hinter sich hat, fangen jung und alt unwillkürlich an, besonders schöne, einfache Figuren mit den Steinen zu bauen. Kann man die geforderten Figuren auf den Spielplänen bauen, wenn man sich nicht gegenseitig stört sondern zusammen hilft? Kann man einen Würfel bauen mit allen Teilen?
Würfel bauen
Die erste Frage ist mit 5.-Klass'-Mathematik schnell entschieden: Kann man einen Würfel bauen?
Wenn man einen Würfel baut mit allen 6 Farben, dann muss ja der Würfel dasselbe Volumen haben wie alle Bauteile zusammen! Alle Bauteile eines Farbsets zusammen haben Volumen 40 (Einheit sind die Würfelchen, aus denen die Teile geleimt sind, also $$1\cdot 2+2\cdot 3+8\cdot 4=40$$). Welche Kantenlänge sollte der Würfel denn haben?
| Kantenlänge | Würfelvolumen |
|---|---|
| 2 | $$2\cdot 2\cdot 2=8 $$ |
| 3 | $$3\cdot 3\cdot 3=27 $$ |
| 4 | $$4\cdot 4\cdot 4=64 $$ |
| 5 | $$5\cdot 5\cdot 5=125 $$ |
| 6 | $$6\cdot 6\cdot 6=216 $$ |
Da man mit 6 Farbsets insgesamt Volumen 6x40=240 hat, lässt sich offensichtlich kein Würfel damit bauen. Selbst bei weniger Farbsets 1, 2, 3, 4 oder 5 würde man auf der Baustoffseite Volumen 40, 80, 120, 160 oder 200 haben, also keinen Würfel bauen können!
q.e.d.
Kann man denn Würfel bauen, wenn man (aus einem anderen Spiel) mehr Farbsets benutzen darf? Das geht, wenn ein Vielfaches von $$40=2^3\cdot 5$$ eine Kubikzahl wäre, also das erste Mal bei $$40\cdot 25=2^3\cdot 5\cdot 5^2=1000$$. Mit 25 Farbsets, also mit 1000 Würfelchen Baumaterial kann man einen 10x10x10-Würfel bauen. Alle weiteren Lösungen sind von der Form $$25\cdot K$$ mit einer beliebigen Kubikzahl K.
Quader bauen
Kann man Quader bauen?
Dann müsste deren Volumen axbxc=240 sein. Welche Quader kann man da bauen? So viele Möglichkeiten gibt es da nicht. Betrachte die Primfaktorzerlegung von $$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$$. Die Seitenlängen müssen wegen axbxc=240 irgendeine Gruppeneinteilung der Primfaktorzerlegung in drei Gruppen sein.
- Zwei einzelne Primfaktoren sind jeweils eine Seitenlänge (4 Möglichkeiten; 3. Seite ergibt sich jeweils als Rest):
- $$2\cdot 2\cdot 60$$
- $$2\cdot 3\cdot 40$$
- $$2\cdot 5\cdot 24$$
- $$3\cdot 5\cdot 16$$
- Ein einzelner Primfaktor ist eine Seite, zweite Seite besteht aus zwei Primfaktoren:
- $$2\cdot 4\cdot 30$$
- $$2\cdot 6\cdot 20$$
- $$2\cdot 10\cdot 12$$
- $$2\cdot 15\cdot 8$$
- $$3\cdot 4\cdot 20$$
- $$3\cdot 10\cdot 8$$
- $$5\cdot 4\cdot 12$$
- $$5\cdot 6\cdot 8$$
- Ein einzelner Primfaktor ist eine Seite, zweite Seite besteht aus drei Primfaktoren:
- ... dann bleibt für die dritte Seite nur ein Produkt aus zwei Primfaktoren übrig. Die Möglichkeiten hat man aber schon. ... also hat man alle möglichen Quader, mit einer Seite, deren Länge ein einzelner Primfaktor ist.
- Bleibt noch die Möglichkeit, dass zwei Seiten aus mindestens zwei Primfaktoren besteht.
- ... dann gibt es nur die Möglichkeit: Alle Seiten sind Produkt zweier Primfaktoren (da man insgesamt nur 6 hat) und da wiederum gibt es nur die Möglichkeiten "3 und 5 sind zusammen oder nicht", also ...
- $$4\cdot 4\cdot 15$$ und
- $$4\cdot 6\cdot 10$$
Das sind alle Quader, sie man bauen kann!, dabei ist der Quader: $$5\cdot 6\cdot 8$$ der Würfel-ähnlichste!
q.e.d.
Wie sieht es mit weniger Farbsets aus?
Wenn man schon keinen Würfel bauen kann, kann man dann vielleicht alle Teile in mehrere Würfel verbauen?
Dann müsste man das Gesamtvolumen 240 in die obigen Kubikzahlen 8, 27, 64, 125, 216 zerlegen können! Auch da gibt es nur ein paar Möglichkeiten. An einem Beispiel seien die Möglichkeiten durchdiskutiert: Soll ein Würfel mit Volumen 216 vorkommen (6x6x6), kann das natürlich wegen Gesamtvolumen 240 höchstens einer sein. Der Rest Volumen 24 kann nur in die drei Kubikzahlen 8, 8, 8 aufgeteilt werden. Also müssten die Bauteile von 6 Farbsets genau in einen 6x6x6 Würfel und in drei 2x2x2-Würfel aufgehen. Diese Volumenbedingung ist aber nur notwendig. Ob sich das auch wegen der Formteilevielfalt wirklich bauen lässt, muss man durch Bauen direkt beweisen. Diese Positivbeweise sind tolle Erlebnisse!
In der folgenden Tabelle sind alle Zerlegungen der Volumen für die Benutzung verschiedener Farbsetanzahlen aufgelistet. Manche lassen sich tatsächlich bauen (Fotos), manche tatsächlich nicht (leichte Gegenbeweise!). Die Gegenbeweise sind zwei Argumente:
- 2x2x2-Würfel kann man nicht beliebig viele bauen, denn dazu kann man nur die Teile verwenden, die auch in einem 2x2x2-Würfel Platz haben. Das sind die drei 3D-Teile, die quadratische Platte, der 3er-Winkel und der 2er-Stick. Man kann sich leicht überlegen, dass mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 Farbsets maximal 0, 5, 6, 10, 11, 15 2x2x2-Würfel gebaut werden können.
- Es muss mindestens ein Würfel der Größe 4x4x4 vorkommen (oder größer), weil sonst der 4er-Stick nicht untergebracht werden kann.
Andere Argumente sind schöne Teilbarkeitsargumente! Zum Beispiel: Das Gesamtvolumen ist gerade! kommt dann ein 5x5x5-Würfel vor (Volumen 125, ungerade!), muss noch eine ungerade Anzahl von anderen Würfeln mit ungeradem Volumen vorkommen (davon gibt es nur noch 3x3x3). Damit hat man schon wieder alle! ... den Rest überlass' ich dem Leser. An der folgenden Tabelle kann man die Vollständigkeit seiner Argumente überprüfen, die Fotos sind die Positivbeweise!
6 Farbsets = Gesamtvolumen 240:
| Würfelzerlegung | Kommentar |
|---|---|
| $$1\cdot 6^3 + 3\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$1\cdot 5^3 + 1\cdot 4^3 +1\cdot 3^3 +3\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$1\cdot 5^3 + 1\cdot 3^3 +11\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$1\cdot 4^3 + 22\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 15 2x2x2-Würfel baubar |
| $$2\cdot 4^3 + 14\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$3\cdot 4^3 + 6\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$8\cdot 3^3 + 3\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da kein 4er Stick unterzubringen |
| $$30\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 15 2x2x2-Würfel baubar |
5 Farbsets = Gesamtvolumen 200:
| Würfelzerlegung | Kommentar |
|---|---|
| $$1\cdot 5^3 + 1\cdot 3^3 + 6\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$1\cdot 4^3 + 17\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 11 2x2x2-Würfel baubar |
| $$2\cdot 4^3 + 9\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$3\cdot 4^3 + 1\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$25\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 11 2x2x2-Würfel baubar |
4 Farbsets = Gesamtvolumen 160:
| Würfelzerlegung | Kommentar |
|---|---|
| $$1\cdot 5^3 + 1\cdot 3^3 + 1\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$1\cdot 4^3 + 12\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 10 2x2x2-Würfel baubar |
| $$2\cdot 4^3 + 4\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$20\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 10 2x2x2-Würfel baubar |
3 Farbsets = Gesamtvolumen 120:
| Würfelzerlegung | Kommentar |
|---|---|
| $$1\cdot 4^3 + 7\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 6 2x2x2-Würfel baubar |
| $$15\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 6 2x2x2-Würfel baubar |
2 Farbsets = Gesamtvolumen 80:
| Würfelzerlegung | Kommentar |
|---|---|
| $$1\cdot 4^3 + 2\cdot 2^3$$ | baubar >> Foto |
| $$10\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da maximal 5 2x2x2-Würfel baubar |
1 Farbset = Gesamtvolumen 40:
| Würfelzerlegung | Kommentar |
|---|---|
| $$5\cdot 2^3$$ | nicht baubar, da kein 4er-Stick unterzubringen |
Also gibt es 11 Würfelsets, die man mit den RUMIS-Teilen bauen kann!
q.e.d.
Bunte Würfel? - Ein offenes Problem!
Ästheten versuchen schnell die Würfel so zu bauen, dass sie überall bunt sind; also keine gleichfarbigen benachbarten Bauteile sich berühren (weder innen noch sichtbar). Diese typische Problemstellung ist in der Mathematik weit verbreitet (Politische Landkarte!)
Mit etwas Aufmerksamkeit am Ende kriegt man das bei 6 Farbsets gut hin (Fotos!). Je weniger Farbsets umso schwieriger! Bei dem Beispiel mit 2 Farbsets ist das offensichtlich unmöglich, da es immer viel mehr Nachbarn als Farben gibt. In der Mitte ist's nun alles andere als trivial, da man durch die Art der Schichtung (begrenzten) Einfluss auf die Anzahl der Nachbarn an kniffligen Stellen hat. Welche Lösungen von Würfelsets können nun noch bunt gestaltet werden? ... welche nicht mehr?
Projekte mit Schülern
Das Problem eignet sich ideal für Schülerprojekte. Es gibt Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade. Es gibt viele Möglichkeiten, selbstständig, sinnlich erfahrbar und arbeitsteilig in Gruppen zu arbeiten. Die Berührungen mit Lehrplaninhalten sind sehr groß. Sowas wie Primfaktorzerlegung und Teilbarkeit als nützlich in Spielen zu erleben, ist für viele eine äußerst verblüffende Erfahrung!
