MINT-Fortbildung an der Johann-Rieder-RS Rosenheim, 11. März 2014, Grundlagen mathematischer Projektstunden; POLYDRON

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Bausatz POLYDRON

Mathematische Projektstunden, -tage oder gar -wochen sind organisatorische Rahmenbedingungen, die einen erkenntnisorientierten Mathematikunterricht fördern können (Gedanken hierzu: "Eine Wortmeldung der Königsdisziplin"). Veränderte organisatorische Rahmen erfordern allerdings auch dazu passende Themen und Aufgaben, sprich: passende Mathematische Lernumgebungen. Ausführliche Gedanken hierzu will die folgende Studienarbeit anstoßen:

(2013), W. Lentner, "Mathematische Lernumgebungen für Projekttage"

In den beiden Workshops der MINT-Fortbildung an der Johann-Rieder-RS, Rosenheim, werden einige Lernumgebungen vorgestellt, die am Lehrplan der 5. und 6. Klassen der bayerischen R6 anknüpfen:

  1. POLYDRON bzw. FRAMEWORKS als Material, um handlungs- und erkenntnisorientiert die Themen "räumliche, geometrische Körper", "systematisches Abzählen (Daten und Zufall, Baumdiagramm)" zu vertiefen.
    1. Platonische Körper bauen und untersuchen
    2. Würfelsteckbriefe
    3. Einfache Würfel färben (6 x 1)
    4. Größere Würfel färben (6 x 4)
  2. Türme von Hanoi (Stacktiefe trainieren, Terme entwickeln, Visualisieren, geeignet bis 8. Klasse)
    1. Das Delegationsverfahren (Theaterspielen)
    2. Wie viele Züge, wie viele Stellungen, wie viele Züge minimal (Terme über Terme)
    3. Sirpinski-Dreiecke
  3. RUMIS (Primfaktorzerlegung, systematisches Abzählen, Volumenberechnung, 5. und 6. Klasse)
    1. Alle Teile in einem Würfel verbauen
    2. Alle Teile mehrerer Farben in einem Würfel verbauen
    3. Quader bauen
    4. Mehrere Würfel bauen
  4. Der SOMA-Würfel als RUMIS-Variante

Weiterführende Beschäftigung mit den Themen sowie weitere Lernumgebungen bieten Mathematische Tage für Mathematikfachschaften Ihrer Schule (Flyer).


POLYDRON und FRAMEWORKS: Würfel färben und Polyeder basteln

Mit dem System POLYDRON bzw. FRAMEWORK (... zu beziehen über das Mathematikum in Gießen; sehr zu empfehlen!) lassen sich einfache Würfel in verschiedenen Farben bauen.

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  • 1: Einfache Steckbrief-Aufgaben:
    • 1a: Ich bin ein Würfel
      • ... und bin dreifarbig.
      • ... Ein blaues Quadrat berührt dabei alle drei roten Quadrate,
      • ... ein weiteres blaues Quadrat berührt nur zwei rote Quadrate,
      • ... ein gelbes Quadrat berührt nur ein blaues Quadrat.
    • 1b: Mein Körper besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken,
      • ... dabei werden immer gelbe Dreiecke mit roten verbunden.
      • ... Es gibt vier gelbe Dreiecke
      • ... und es werden nur zwei Farben benutzt.
  • 2: Schwieriger ist: Gibt es immer nur einen solchen Körper oder sogar mehrere?
    • 2a: Ich bin ein dreifarbiger Würfel und habe keine bunte Kante (eine bunte Kante ist das, was man von Grenzen politischer Karten gewohnt ist, nämlich eine Kante mit zwei verschiedenfarbigen Nachbarflächen)
    • 2b: Ich bin ein dreifarbiger Würfel und habe eine bunte Kante
    • 2c: Ich bin ein dreifarbiger Würfel und habe zwei bunte Kanten
    • u. s. w.
  • 3: Forschungsprojekt für eine Mathe-Freizeit: Welche dreifarbigen Würfel (bzw. wie viele) gibt es denn insgesamt ???
  • 4: Schönes Färbeproblem der schärferen Sorte (Prof. Steinlein LMU)

Platonische Körper

Würfel sind Mitglied einer sehr erlesenen Familien von Körpern, den Platonischen Körpern. Diese Platonischen Körper sind sozusagen das regelmäßigste, was es bei räumlichen Vielecken (Polyedern) gibt.

  • Sie bestehen aus lauter gleichen regelmäßigen Vielecken
  • Es gibt einen Mittelpunkt, von dem sind ...
    • alle Flächen gleich weit weg,
    • alle Kanten (in Gestalt der Mittelpunkte) gleich weit weg und
    • alle Ecken gleich weit weg.

Mehr unter ...

Warum gibt es nur diese 5 Platonischen Körper?

Beweis: Mit POLYDRON alle möglichen Hütchen an den Ecken ausprobieren ...

  • gleichseitige Dreiecke ...
    • 3 an einem Eck >>> Tertraeder
    • 4 an einem Eck >>> Oktaeder
    • 5 an einem Eck >>> Ikosaeder
    • 6 an einem Eck >>> Fläche ist ausgefüllt, denn 6 mal 60 Grad ist 360 Grad, also keine Wölbung
    • 7 an einem Eck haben nicht Platz, mehr erst recht nicht
  • Quadrate ...
    • 3 an einem Eck >>> Würfel (Hexaeder)
    • 4 an einem Eck >>> Fläche ist ausgefüllt, denn 4 mal 90 Grad ist 360 Grad, also keine Wölbung
    • 5 an einem Eck haben nicht Platz, mehr erst recht nicht
  • regelmäßige Fünfecke ...
    • 3 an einem Eck >>> Dodekaeder
    • 4 an einem Eck >>> haben nicht Platz, weil 108 Grad mal 4 > 360 Grad, mehr erst recht nicht
  • regelmäßege Sechsecke ...
    • 3 >>> Fläche ist ausgefüllt, denn 3 mal 120 Grad ist 360 Grad, also keine Wölbung
    • 4 an einem Eck haben nicht Platz, mehr erst recht nicht

Eulersche Polyederformel

Wie viele Ecken, Kanten und Flächen haben die Platonischen Körper?

Ergebnisse in: Tabelle in WIKI

Ist es Zufall oder eine Eigenschaft der Platonischen Körper, dass der Term 

$E=Ecken + Flächen - Kanten$

immer das Ergebnis 2 liefert? Teste mit anderen Polyedern!

Scheint für alle Körper zu stimmen!!! (Eulerscher Polyedersatz)

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