M12 - 2 Modul „Folgen und Reihen“
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Lehrplantext
Die Schülerinnen und Schüler ...
- beweisen mathematische Aussagen mithilfe des Verfahrens der vollständigen Induktion.
- ermitteln die Folgenglieder explizit definierter Folgen (z. B. arithmetische Folge, geometrische Folge) und rekursiv definierter Folgen (z. B. Fibonacci-Folge, Folge der Näherungswerte beim Newton-Verfahren). Umgekehrt stellen sie zu vorgegebenen Folgengliedern ein geeignetes Bildungsgesetz auf.
- untersuchen Folgen in Bezug auf Monotonie und Beschränktheit, schließen daraus ggf. auf die Konvergenz und bestimmen bei konvergenten Folgen deren Grenzwert.
- beschreiben Reihen als Folgen von Partialsummen und begründen die Divergenz der harmonischen Reihe anhand geeigneter Abschätzungen. Sie erläutern, unter welcher Bedingung geometrische Reihen konvergieren, und berechnen in diesen Fällen den jeweiligen Grenzwert. Sie nutzen geometrische Reihen in Anwendungen, z. B. bei der Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in Brüche, bei fraktalen Iterationsprozessen (z. B. Koch’sche Schneeflockenkurve, Sierpinski-Dreieck) oder in der Finanzmathematik.
- erläutern die Grundidee der Konstruktion von Taylorpolynomen n-ten Grades an der Entwicklungsstelle x = 0 und nähern u. a. die natürliche Exponentialfunktion durch Taylorpolynome an; dabei nutzen sie eine dynamische Geometriesoftware, um die zu den Taylorpolynomen gehörenden Graphen zu veranschaulichen und die Konvergenz dieser Folge plausibel zu machen. Ausgehend von der Taylorentwicklung der natürlichen Exponentialfunktion geben sie die Reihendarstellung der Euler’schen Zahl e an.
