Würfel färben 6*4, Phase 2

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Gleichungssystem von Prof. Dr. Steinlein

Ein Würfel besteht aus einer bestimmten Anzahl von Mädchen (zweifarbigen Seitenflächen, also Annas, Bellas und Claras) sowie Buben (dreifarbigen Seitenflächen, also Ullis, Vallis und Willis). Die Anzahl der Ullis in einem Würfel sei u, die Anzahl der Vallis v, u.s.w.. Man weiß nun wegen ...

Anna	Bella	Clara	Ulli	Valli	Willi

Bella, Clara und Ulli steuern jeweils zwei rote Quadrate bei, Valli und Willi jeweils eines und Anna kein rotes Quadrat bei. Insgesamt müssen es aber 8 rote Quadrate werden (Erfahrung 1). Also ist muss sein:

$$2b+2c+2u+v+w=8$$

Weil auch insgesamt 8 blaue Quadrate zusammenkommen müssen, muss auch sein:

$$2a+2c+u+2v+w=8$$

und schließlich, damit man auf 8 gelbe kommt, ist:

$$2a+2b+u+v+2w=8$$

Außerdem sind es ja zusammen 6 Seitenflächen, also ist auch:

$$a+b+c+u+v+w=6$$

Je nach Vorwissen können jetzt die Schüler selbst das Gleichungssystem vereinfachen - und zwar so, dass wir möglichst leicht Schlüsse für unser Problem ziehen können.

• Vielleicht kann man ja eine Variable berechnen?!
• Oder das Gleichungssystem so umstellen, dass man alle Möglichkeiten für a einsetzen und dann schließen kann, was u sein kann, oder so ähnlich ...
• Für Oberstufenschüler könnte die Frage interessant sein, wie viele Freiheitsgrade hat das System. D.h. Wie viele Variablen u, v, w, a, b, c muss man mit allen Möglichkeiten einsetzen, damit man dann die anderen Variablen schließen kann?
• Was ist die Grundmenge für die Variablen? Scheinbar können sie doch von 0 bis 6 alles sein?!

Herr Steinlein hat folgendes herausgefunden:

• Das System vereinfacht man am besten so ...

$$u=2+a-b-c$$

$$v=2-a+b-c$$

$$w=2-a-b+c$$

• Man kann also für a, b und c alles Mögliche einsetzen und kann dann berechnen, was für u, v und w rauskommen muss, damit alles aufgeht. Das Gleichungssystem ist also eine Lösungsproduktionsmaschine!
• Für Oberstufenschüler ist folgende Beobachtung interessant: Normalerweise kann man pro zusätzlicher Gleichung eine Wahlvariable rausschmeißen. Dann müsste man aber bei 4 Gleichungen z.B. u auch noch ausrechnen können. Warum kann man das hier nicht? Der Grund: Die 4. Gleichung bringt nichts Neues (sie ist aus den anderen drei Gleichung ableitbar, also nicht linear unabhängig).
• Die Grundmenge für alle Variablen (Die Wunschvariablen a, b, c natürlich) ist viel kleiner. Jede Variable kann nur Werte zwischen 0 und 2 annehmen (Begründung).

	Anna	Bella	Clara	Ulli	Valli	Willi
Fall 1:	2	2	2
Fall 2:	2	2	1
Fall 3:	2	2	0
Fall 4:	2	1	1
Fall 5:	2	1	0
Fall 6:	2	0	0
Fall 7:	1	1	1
Fall 8:	1	1	0
Fall 9:	1	0	0
Fall 10:	0	0	0

Durch Einsetzen in das obige Gleichungssystem ergibt sich:

Fall 1:	2	2	2	0	0	0
Fall 2:	2	2	1	1	1	-1
Fall 3:	2	2	0	2	2	-2
Fall 4:	2	1	1	2	0	0
Fall 5:	2	1	0	3	1	-1
Fall 6:	2	0	0	4	0	0
Fall 7:	1	1	1	1	1	1
Fall 8:	1	1	0	2	2	0
Fall 9:	1	0	0	3	1	1
Fall 10:	0	0	0	2	2	2

• Durch diese Tabelle hat sich unsere Arbeit extrem vereinfacht! Andere Typen kann es nämlich nicht geben. Fall 10 sagt zum Beispiel, dass ein Würfel ohne weibliche Seitenflächen (keine 2-farbigen) zwangsläufig zwei von jeder männlichen Fläche hat. Das macht alles viel übersichtlicher (Bau Dir mit POLYDROM 2 Ullis, 2 Vallis und 2 Wilis und damit kannst Du dann alle möglichen Würfel dieses Typs bauen!
• Bei Fall 2, 3 und 5 müsste w eine negative Zahl sein, damit das mit den 8 Quadraten pro Farbe aufgeht, was ja nicht erlaubt ist. Solche Würfel kann es also nicht geben. Die drei Fälle sind also schon erledigt.
• Welche Würfel von den anderen Typen haben wir denn schon gefunden? Von welchen Typen haben wir noch keine? Gibt es da Lösungen? (Geordnete Galerie eventuell neu ordnen!)
• Die Bedingungen in den Fällen sind notwendig, nicht hinreichend! Es heißt also noch lange nicht, dass es zu den Fällen 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10 Lösungen gibt (Außer wir haben schon welche gefunden). Es könnte durchaus sein, dass es aus anderen Gründen keine Lösung gibt!
• Ab jetzt könnten wir arbeitsteilig arbeiten, denn eine gefundene Lösung aus der Gruppe, die z.B. Fall 1 bearbeitet, muss seine Lösungen nicht mit denen von Gruppe 10 abgleichen, denn diese unterscheiden sich ja durch drehinvariante Eigenschaften (eine 2-farbige Seite wird nicht 3-farbig, weil ich sie nach hinten drehe!).
• Es wird so ausgehen:
  • Bei allen außer Fall 10 gibt's im Wesentlichen einen Würfel (durch Farben austauschen und spiegeln werden es von Fall zu Fall mehr!), z.B. gibt es nur einen Würfel (und sein Spiegelbild vom Typ 1). Manche Gruppen sind also schnell fertig.
  • Fall 10 ist überraschend knifflig. Da gibt es viele Konstellationen der Männer zueinander, die aufgehen (+ spiegeln und Farben vertauschen). Das muss man aber nicht verraten. Wenn Gruppen schnell fertig sind, können die dann die Gruppe 10 unterstützen und in Unterfälle aufteilen.

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Elementare Klassifikation

Mit Checkliste und Köpfchen geht's auch ohne Gleichungssystem!

Im letzten Mathe-Camp haben einige Schülerinnen mich beim Benutzen des Gleichungssystems (Beim Fall ABC=222) unterbrochen und gesagt: Das ist doch klar, dass UVW=000 ist, denn es sind ja schon 6 Seitenwände. Haben sie recht! Ich habe eingewendet: Aber bei den anderen Fällen geht's nicht so leicht. Sie haben spontan zwei weitere Fälle gelöst. Ich wurde schon vorsichtiger. Schließlich sind wir jeden Fall durchgegangen und haben tatsächlich elementare Argumente für UVW in jedem Fall gefunden. Spannende Aufgabe für Euch!

Folgendes Vorgehen ist interessant und einfach:

• Strichliste machen und aufschreiben, wie viele rote/blaue/gelbe hat man schon mit den Frauen
• fehlende bestimmen
• überlegen, wie bring ich die Fehlenden mit den Männern zusammen?