CUBE.CODES: Buchstabe O: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Eine viel diskutierte Frage im Netz ist bei allen Mustern (so auch hier) immer wieder, welche Farbvarianten dabei möglich sind.''' | '''Eine viel diskutierte Frage im Netz ist bei allen Mustern (so auch hier) immer wieder, welche Farbvarianten dabei möglich sind.''' | ||
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| + | Zunächst kann man ja schon die Info hier für mehrere Muster nutzen, denn man kann den Würfel ja anders in die Hand nehmen und den Trick nochmal für neue "Vertauschungen der Mittelpunkte" verwenden. Außerdem kann man den Zug 2x wiederholen. Was passiert beim 3. Mal? Folgende Beobachtungen sind crazy ... | ||
| + | * Der Zug rotiert drei Nachbarringe um drei Nachbar-Mittelpunkte. Damit ist auch klar, was bei 2x, 3x und 4x ... , nx passiert! | ||
| + | * Die gegenüberliegenden Nachbarseiten werden ebenfalls mx rotiert mit m=3-n! | ||
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==Farbvarianten, wenn man die Lösungen "malen" darf== | ==Farbvarianten, wenn man die Lösungen "malen" darf== | ||
| − | Mit der Forscherklasse 5_21/22 beschäftigten wir uns zunächst damit, welche Farbvarianten man mit MS-paint "malen" kann - m.a.W. welche | + | Mit der Forscherklasse 5_21/22 beschäftigten wir uns zunächst damit, welche Farbvarianten man mit MS-paint "malen" kann - m.a.W. welche '''bunte Kombinationen aus Punktfarben- und Ringfarben''' es gibt '''(ohne dass einfarbige Flächen entstehen)'''. Unsere ersten Vermutungen (Umfrage mit Antworten aus dem Bauch raus) sind nach etwas basteln: 36 | 37 | 33 | 30 | 50 | 49 | 32 | 60 | 16, ... bin gespannt ;-). Nach einer kleinen MS-paint-Einweisung haben wir eine Form entwickelt, in der wir die Lösungen dokumentieren und die Würfel von allen Ansichten aus nachkontrollieren konnten und da kamen auch schon die ersten Probleme, man musste nämlich nicht nur auf verschiedene Farben der Ringe und Punkte achten ... : |
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| − | Wir haben 6 Farben (1=weiß, 2=gelb, 3=grün, 4=blau, 5=rot, 6=orange). | + | Wir haben 6 Farben (1=weiß, 2=gelb, 3=grün, 4=blau, 5=rot, 6=orange). Die Lösung oben könnten wir einfacher so darstellen:<br> |
'''123456 (Mittelpunktsfarben)'''<br> | '''123456 (Mittelpunktsfarben)'''<br> | ||
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| − | Die 6 Ringe um die Mittelpunkte werden also vertauscht. Wenn zwei gleiche Zahlen untereinander stehen, entstehen einfarbige Flächen, also dürfen immer nur verschiedene Zahlen untereinander stehen. Merkt man sich die Bedeutung und Reihenfolge der Farben, würde es auch ausreichen nur die zweite Zeile zu notieren:<br> | + | Die 6 Ringe um die Mittelpunkte werden also vertauscht. Wenn zwei gleiche Zahlen untereinander stehen, entstehen einfarbige Flächen, also dürfen immer nur verschiedene Zahlen untereinander stehen. Merkt man sich die Bedeutung und Reihenfolge der Farben, würde es auch ausreichen, nur die zweite Zeile zu notieren:<br> |
| − | ''' | + | '''ElliLina: 346521''' <p> |
| − | Notiert man alle Vertauschungen (Permutationen) von 6 Zahlen (wobei keine Zahlen an ihren originalen Positionen stehen dürfen), hätte man alle Farbvarianten. | + | Notiert man alle Vertauschungen ('''Permutationen''') von 6 Zahlen (wobei keine Zahlen an ihren originalen Positionen stehen dürfen - solche Zahlen würde man '''Fixpunkte''' nennen, weil sie eben durch die Vertauschung '''fix''' blieben), hätte man alle Farbvarianten. |
| − | '''Ash aus der 9. Klasse hat im Netz die Info gefunden, dass es 265 Farbvarianten gibt!''' | + | '''Ash aus der 9. Klasse hat im Netz die Info gefunden, dass es da 265 Farbvarianten gibt!''' |
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation WIKIPEDIA-Artikel hierzu] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation WIKIPEDIA-Artikel hierzu] | ||
| − | * Da das Problem sog. fixpunktfreier Permutationen oft auftritt, gibt es dazu spannende mathematische Tricks. Eine nette andere Formulierung wäre: '''6 Ehepaare gehen auf eine Party zum Tanzen. Beim ersten Tanz werden die Partner gelost. Jetzt kann sein, dass Ehepaare zusammen tanzen oder auch mal nur mit neuen Partnern. 265 von 720 möglichen Tanzpaarungen bringen nur neue Partner zusammen.''' Mehr im WIKIPEDIA-Artikel. | + | * Da das Problem sog. fixpunktfreier Permutationen oft auftritt, gibt es dazu spannende mathematische Tricks - vor allem für mehr Farben wird's spannend. Eine nette andere Problem-Formulierung wäre: '''6 Ehepaare gehen auf eine Party zum Tanzen. Beim ersten Tanz werden die Partner gelost. Jetzt kann sein, dass Ehepaare zusammen tanzen oder auch mal nur mit neuen Partnern. 265 von 720 möglichen Tanzpaarungen bringen nur neue Partner zusammen.''' Mehr im WIKIPEDIA-Artikel. |
| − | * Warum zum Teufel 265? | + | * [[Fixpunktfreie Permutationen | Warum zum Teufel 265]]? |
| − | * | + | * '''295 ist aber noch nicht das Ende''': Denn die 265 fixpunktfreien Permutationen notieren ja nur die verschiedenen bunten Wände(-sets) des Würfels, die es gibt. Man kann diese ja auch noch auf verschiedene Arten zusammensetzen (da werden es dann über 7000!). Wie viele denn genau? Spannendes Matheprojekt! ;-) |
| − | + | * Wie können wir denn nur bei 7000 möglichen Farbkombis die raussuchen, die auch noch zusätzlich richtige Nachbarschaften berücksichtigen? Gibt es noch andere Probleme? '''Welche Farbvarianten kann man denn nun am RUBIK-Würfel wirklich herbeidrehen?''' Phuh!!!!! :-) | |
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| − | + | ==Fixpunktfreie Permutationen== | |
| − | * | + | Mit der Klasse 9a (2021/2022) haben wir versucht, alle [[Fixpunktfreie Permutationen | fixpunktfreien Permutationen]] zu finden. Bis n=6 ist es uns gelungen. Aber wie geht es weiter. Schon der Unterschied zwischen n=5 und n=6 war nimmer groß: '''ca 33%''' |
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| + | Nach was riecht das? | ||
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| + | Ein Blick in Wikipedia enttäuscht uns! | ||
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| + | Was zum Teufel ist: | ||
| + | [[Datei: 1durche.png]] | ||
| − | ==Idee zum systematischen Abzählen== | + | ==Idee zum systematischen Abzählen unter Berücksichtigung der gültigen Nachbarschaften== |
'''Die folgende Idee stellt sicher, dass nur Würfelchen verwendet werden, die es tatsächlich an einem orginal gefärbten Würfel gibt und dass das feste Achsenkreuz nicht missachtet wurde: '''Der Würfel besteht beim Punktemuster O aus zwei Teilen, die starr sind, also nicht verändert werden können: 1. Das Kreuz der Mittelpunkte, 2. Der Ring der 6 Ringe auf den Seiten, denn die Ecken bestimmen genau, welche Kanten benachbart sein müssen. | '''Die folgende Idee stellt sicher, dass nur Würfelchen verwendet werden, die es tatsächlich an einem orginal gefärbten Würfel gibt und dass das feste Achsenkreuz nicht missachtet wurde: '''Der Würfel besteht beim Punktemuster O aus zwei Teilen, die starr sind, also nicht verändert werden können: 1. Das Kreuz der Mittelpunkte, 2. Der Ring der 6 Ringe auf den Seiten, denn die Ecken bestimmen genau, welche Kanten benachbart sein müssen. | ||
Die einzige Freiheit ist, den Ring wie einen Mantel abzunehmen, ihn irgendwie zu drehen und wieder anzuziehen ... . Dabei dürfen allerdings kein Ring und Mittelpunkt, die aufeinander zum Liegen kommen, die gleiche Farbe haben!<br> Viel Möglichkeiten gibt's da ja nicht ... | Die einzige Freiheit ist, den Ring wie einen Mantel abzunehmen, ihn irgendwie zu drehen und wieder anzuziehen ... . Dabei dürfen allerdings kein Ring und Mittelpunkt, die aufeinander zum Liegen kommen, die gleiche Farbe haben!<br> Viel Möglichkeiten gibt's da ja nicht ... | ||
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| − | ===Wie kann man | + | ===Wie kann man jetzt den Mantel drehen?=== |
Sechs Möglichkeiten, welche Ringfarbe oben ist + jeweils vier Möglichkeiten, die Mäntel dann noch um die senkrechte Achse zu drehen ... : | Sechs Möglichkeiten, welche Ringfarbe oben ist + jeweils vier Möglichkeiten, die Mäntel dann noch um die senkrechte Achse zu drehen ... : | ||
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| − | [[Datei: Rubikgruenoben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> | + | 4[[Datei: Rubikgruenoben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> |
| − | [[Datei: Rubikrotoben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> | + | 8[[Datei: Rubikrotoben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> |
| − | [[Datei: Rubikblauoben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> | + | 12[[Datei: Rubikblauoben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> |
| − | [[Datei: Rubikorangeoben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> | + | 16[[Datei: Rubikorangeoben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> |
| − | [[Datei: Rubikgelboben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> | + | 20[[Datei: Rubikgelboben.png | tumb | left | 300px]] <br style="clear:left; "> |
| − | ===Und welche Punktemuster kommen | + | ===Und welche Punktemuster kommen jetzt raus, wenn man den Mantel wieder anzieht?=== |
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Datei: weiß-grün.png | weiß oben<br>grün vorne<br><span style="color: red; text-decoration: line-through;">alles einfarbig</span> | Datei: weiß-grün.png | weiß oben<br>grün vorne<br><span style="color: red; text-decoration: line-through;">alles einfarbig</span> | ||
Aktuelle Version vom 21. November 2023, 19:57 Uhr
Das beliebteste Muster ist der Buchstabe O auf allen Seiten - anders ausgedrückt: Der Punkt auf allen Seiten.
Du kannst ihn mit CUBE.CODES ganz einfach üben.
Eine viel diskutierte Frage im Netz ist bei allen Mustern (so auch hier) immer wieder, welche Farbvarianten dabei möglich sind. Zunächst kann man ja schon die Info hier für mehrere Muster nutzen, denn man kann den Würfel ja anders in die Hand nehmen und den Trick nochmal für neue "Vertauschungen der Mittelpunkte" verwenden. Außerdem kann man den Zug 2x wiederholen. Was passiert beim 3. Mal? Folgende Beobachtungen sind crazy ...
- Der Zug rotiert drei Nachbarringe um drei Nachbar-Mittelpunkte. Damit ist auch klar, was bei 2x, 3x und 4x ... , nx passiert!
- Die gegenüberliegenden Nachbarseiten werden ebenfalls mx rotiert mit m=3-n!
- Völlig abgedreht ist: Nimmt man den Würfel anders in die Hand und zerstört die oben beschriebene Ordnung, kommen wieder die selben Drehungen "um die Raumdiagonale" raus.
Hm! Sieht so aus, als ob es mit diesem Zug 8 Muster so gibt (4 Raumdiagonalen mal 2 Verdrehungen - die 3. ergibt eine Identität). Wer überblickt das? Gibt es noch andere Züge als den hier dargestellten? ...
Veröffentlichung der Diskussion an der Uni Hamburg - alle dreifarbigen Muster
Farbvarianten, wenn man die Lösungen "malen" darf
Mit der Forscherklasse 5_21/22 beschäftigten wir uns zunächst damit, welche Farbvarianten man mit MS-paint "malen" kann - m.a.W. welche bunte Kombinationen aus Punktfarben- und Ringfarben es gibt (ohne dass einfarbige Flächen entstehen). Unsere ersten Vermutungen (Umfrage mit Antworten aus dem Bauch raus) sind nach etwas basteln: 36 | 37 | 33 | 30 | 50 | 49 | 32 | 60 | 16, ... bin gespannt ;-). Nach einer kleinen MS-paint-Einweisung haben wir eine Form entwickelt, in der wir die Lösungen dokumentieren und die Würfel von allen Ansichten aus nachkontrollieren konnten und da kamen auch schon die ersten Probleme, man musste nämlich nicht nur auf verschiedene Farben der Ringe und Punkte achten ... :
irreguläre Farbvariante:
Ecke blau-weiß-grün gibt es nicht. Wir müssen also auf erlaubte Nachbarschaften der Ringfarben achten.
irreguläre Farbvariante:
Die Mittelpunkte grün-blau sind nicht benachbart. Wir müssen also auch auf erlaubte Nachbarschaften der Mittelpunktfarben achten.
Als immer mehr irreguläre "Gemälde" auftauchten (sie wären auch am Würfel möglich, wenn man die Sticker abziehen und umkleben würde), ließen wir Farbvarianten nur noch dann gelten, wenn man sie am Orginal-RUBIK-Würfel herzeigen konnte. Nach einigen Stunden wuchs dann die folgende Galerie, von der wir aber nicht wussten, ob sie vollständig ist:
Mia, 5. Klasse
Julia, 5. Klasse
Hannah, 5. Klasse
Louisa, 5. Klasse,
Mia, 5. Klasse,
Ellie, 5. Klasse
Jasmin, 5. Klasse,
Mia, 5. Klasse
Ellie, 5. Klasse,
Lina, 5. Klasse
Theresa, 5. Klasse,
Ellie, 5. Klasse
Mia, 5. Klasse
Welche bunten Ringfarben-Punktfarbenkombinationen gibt es insgesamt?
Die Lösung von Elli und Lina wäre ... :
Wir haben 6 Farben (1=weiß, 2=gelb, 3=grün, 4=blau, 5=rot, 6=orange). Die Lösung oben könnten wir einfacher so darstellen:
123456 (Mittelpunktsfarben)
346521 (Ringfarben)
Die 6 Ringe um die Mittelpunkte werden also vertauscht. Wenn zwei gleiche Zahlen untereinander stehen, entstehen einfarbige Flächen, also dürfen immer nur verschiedene Zahlen untereinander stehen. Merkt man sich die Bedeutung und Reihenfolge der Farben, würde es auch ausreichen, nur die zweite Zeile zu notieren:
ElliLina: 346521
Notiert man alle Vertauschungen (Permutationen) von 6 Zahlen (wobei keine Zahlen an ihren originalen Positionen stehen dürfen - solche Zahlen würde man Fixpunkte nennen, weil sie eben durch die Vertauschung fix blieben), hätte man alle Farbvarianten. Ash aus der 9. Klasse hat im Netz die Info gefunden, dass es da 265 Farbvarianten gibt!
- WIKIPEDIA-Artikel hierzu
- Da das Problem sog. fixpunktfreier Permutationen oft auftritt, gibt es dazu spannende mathematische Tricks - vor allem für mehr Farben wird's spannend. Eine nette andere Problem-Formulierung wäre: 6 Ehepaare gehen auf eine Party zum Tanzen. Beim ersten Tanz werden die Partner gelost. Jetzt kann sein, dass Ehepaare zusammen tanzen oder auch mal nur mit neuen Partnern. 265 von 720 möglichen Tanzpaarungen bringen nur neue Partner zusammen. Mehr im WIKIPEDIA-Artikel.
- Warum zum Teufel 265?
- 295 ist aber noch nicht das Ende: Denn die 265 fixpunktfreien Permutationen notieren ja nur die verschiedenen bunten Wände(-sets) des Würfels, die es gibt. Man kann diese ja auch noch auf verschiedene Arten zusammensetzen (da werden es dann über 7000!). Wie viele denn genau? Spannendes Matheprojekt! ;-)
- Wie können wir denn nur bei 7000 möglichen Farbkombis die raussuchen, die auch noch zusätzlich richtige Nachbarschaften berücksichtigen? Gibt es noch andere Probleme? Welche Farbvarianten kann man denn nun am RUBIK-Würfel wirklich herbeidrehen? Phuh!!!!! :-)
Fixpunktfreie Permutationen
Mit der Klasse 9a (2021/2022) haben wir versucht, alle fixpunktfreien Permutationen zu finden. Bis n=6 ist es uns gelungen. Aber wie geht es weiter. Schon der Unterschied zwischen n=5 und n=6 war nimmer groß: ca 33%
Nach was riecht das?
Ein Blick in Wikipedia enttäuscht uns!
Was zum Teufel ist:
Idee zum systematischen Abzählen unter Berücksichtigung der gültigen Nachbarschaften
Die folgende Idee stellt sicher, dass nur Würfelchen verwendet werden, die es tatsächlich an einem orginal gefärbten Würfel gibt und dass das feste Achsenkreuz nicht missachtet wurde: Der Würfel besteht beim Punktemuster O aus zwei Teilen, die starr sind, also nicht verändert werden können: 1. Das Kreuz der Mittelpunkte, 2. Der Ring der 6 Ringe auf den Seiten, denn die Ecken bestimmen genau, welche Kanten benachbart sein müssen.
Die einzige Freiheit ist, den Ring wie einen Mantel abzunehmen, ihn irgendwie zu drehen und wieder anzuziehen ... . Dabei dürfen allerdings kein Ring und Mittelpunkt, die aufeinander zum Liegen kommen, die gleiche Farbe haben!
Viel Möglichkeiten gibt's da ja nicht ...
Erst mal den Mantel abnehmen
Wie kann man jetzt den Mantel drehen?
Sechs Möglichkeiten, welche Ringfarbe oben ist + jeweils vier Möglichkeiten, die Mäntel dann noch um die senkrechte Achse zu drehen ... :
0
4
8
12
16
20
Und welche Punktemuster kommen jetzt raus, wenn man den Mantel wieder anzieht?
weiß oben
grün vorne
alles einfarbig
weiß oben
rot vorne
weiß einfarbig
weiß oben
blau vorne
weiß einfarbig
weiß oben
orange vorne
weiß einfarbig
grün oben
weiß vorne
aus Orbit 100
Test mit CUBE.CODES
grün oben
orange vorne
1. Lösung
Beleg mit CUBE.CODES
grün oben
gelb vorne
rot einfarbig
grün oben
rot vorne
2. Lösung
Beleg mit CUBE.CODES
rot oben
weiß vorne
3. Lösung
Beleg mit CUBE.CODES
rot oben
grün vorne
grün einfarbig
rot oben
gelb vorne
4. Lösung
Beleg mit CUBE.CODES
rot oben
blau vorne
ungeklärt
Test mit CUBE.CODES
blau oben
weiß vorne
rot einfarbig
blau oben
rot vorne
5. Lösung
Beleg mit CUBE.CODES
blau oben
gelb vorne
ungeklärt
Test mit CUBE.CODES
blau oben
orange vorne
6. Lösung
Beleg mit CUBE.CODES
orange oben
weiß vorne
7. Lösung
Beleg mit CUBE.CODES
orange oben
blau vorne
ungeklärt
Test mit CUBE.CODES
orange oben
gelb vorne
8. Lösung
Beleg mit CUBE.CODES
orange oben
grün vorne
grün einfarbig
gelb oben
grün vorne
grün einfarbig
gelb oben
orange vorne
ungeklärt
Test mit CUBE.CODES
gelb oben
blau vorne
rot einfarbig
gelb oben
rot vorne
ungeklärt
Test mit CUBE.CODES
... ergibt 8 Lösungen! + 6 ungeklärte Bilder
