CUBE.CODES: Buchstabe O

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Version vom 30. August 2023, 11:56 Uhr von Wolfgang Lentner (Diskussion | Beiträge)
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Standardbeispiel

Das beliebteste Muster ist der Buchstabe O auf allen Seiten - anders ausgedrückt: Der Punkt auf allen Seiten.

Du kannst ihn mit CUBE.CODES ganz einfach üben.

Eine viel diskutierte Frage im Netz ist bei allen Mustern (so auch hier) immer wieder, welche Farbvarianten dabei möglich sind. Zunächst kann man ja schon die Info hier für mehrere Muster nutzen, denn man kann den Würfel ja anders in die Hand nehmen und den Trick nochmal für neue "Vertauschungen der Mittelpunkte" verwenden. Außerdem kann man den Zug 2x wiederholen. Was passiert beim 3. Mal? Folgende Beobachtungen sind crazy ...

  • Der Zug rotiert drei Nachbarringe um drei Nachbar-Mittelpunkte. Damit ist auch klar, was bei 2x, 3x und 4x ... , nx passiert!
  • Die gegenüberliegenden Nachbarseiten werden ebenfalls mx rotiert mit m=3-n!
  • Völlig abgedreht ist: Nimmt man den Würfel anders in die Hand und zerstört die oben beschriebene Ordnung, kommen wieder die selben Drehungen "um die Raumdiagonale" raus.

Hm! Sieht so aus, als ob es mit diesem Zug 8 Muster so gibt (4 Raumdiagonalen mal 2 Verdrehungen - die 3. ergibt eine Identität). Wer überblickt das? Gibt es noch andere Züge als den hier dargestellten? ... >>> Alle dreifarbigen Muster

Farbvarianten, wenn man die Lösungen "malen" darf

Mit der Forscherklasse 5_21/22 beschäftigten wir uns zunächst damit, welche Farbvarianten man mit MS-paint "malen" kann - m.a.W. welche bunte Kombinationen aus Punktfarben- und Ringfarben es gibt (ohne dass einfarbige Flächen entstehen). Unsere ersten Vermutungen (Umfrage mit Antworten aus dem Bauch raus) sind nach etwas basteln: 36 | 37 | 33 | 30 | 50 | 49 | 32 | 60 | 16, ... bin gespannt ;-). Nach einer kleinen MS-paint-Einweisung haben wir eine Form entwickelt, in der wir die Lösungen dokumentieren und die Würfel von allen Ansichten aus nachkontrollieren konnten und da kamen auch schon die ersten Probleme, man musste nämlich nicht nur auf verschiedene Farben der Ringe und Punkte achten ... :

Als immer mehr irreguläre "Gemälde" auftauchten (sie wären auch am Würfel möglich, wenn man die Sticker abziehen und umkleben würde), ließen wir Farbvarianten nur noch dann gelten, wenn man sie am Orginal-RUBIK-Würfel herzeigen konnte. Nach einigen Stunden wuchs dann die folgende Galerie, von der wir aber nicht wussten, ob sie vollständig ist:

Welche bunten Ringfarben-Punktfarbenkombinationen gibt es insgesamt?

Die Lösung von Elli und Lina wäre ... :

Kombi1.png

Wir haben 6 Farben (1=weiß, 2=gelb, 3=grün, 4=blau, 5=rot, 6=orange). Die Lösung oben könnten wir einfacher so darstellen:
123456 (Mittelpunktsfarben)
346521 (Ringfarben)

Die 6 Ringe um die Mittelpunkte werden also vertauscht. Wenn zwei gleiche Zahlen untereinander stehen, entstehen einfarbige Flächen, also dürfen immer nur verschiedene Zahlen untereinander stehen. Merkt man sich die Bedeutung und Reihenfolge der Farben, würde es auch ausreichen, nur die zweite Zeile zu notieren:
ElliLina: 346521

Notiert man alle Vertauschungen (Permutationen) von 6 Zahlen (wobei keine Zahlen an ihren originalen Positionen stehen dürfen - solche Zahlen würde man Fixpunkte nennen, weil sie eben durch die Vertauschung fix blieben), hätte man alle Farbvarianten. Ash aus der 9. Klasse hat im Netz die Info gefunden, dass es da 265 Farbvarianten gibt!

  • WIKIPEDIA-Artikel hierzu
  • Da das Problem sog. fixpunktfreier Permutationen oft auftritt, gibt es dazu spannende mathematische Tricks - vor allem für mehr Farben wird's spannend. Eine nette andere Problem-Formulierung wäre: 6 Ehepaare gehen auf eine Party zum Tanzen. Beim ersten Tanz werden die Partner gelost. Jetzt kann sein, dass Ehepaare zusammen tanzen oder auch mal nur mit neuen Partnern. 265 von 720 möglichen Tanzpaarungen bringen nur neue Partner zusammen. Mehr im WIKIPEDIA-Artikel.
  • Warum zum Teufel 265?
  • 295 ist aber noch nicht das Ende: Denn die 265 fixpunktfreien Permutationen notieren ja nur die verschiedenen bunten Wände(-sets) des Würfels, die es gibt. Man kann diese ja auch noch auf verschiedene Arten zusammensetzen (da werden es dann über 7000!). Wie viele denn genau? Spannendes Matheprojekt! ;-)
  • Wie können wir denn nur bei 7000 möglichen Farbkombis die raussuchen, die auch noch zusätzlich richtige Nachbarschaften berücksichtigen? Gibt es noch andere Probleme? Welche Farbvarianten kann man denn nun am RUBIK-Würfel wirklich herbeidrehen? Phuh!!!!! :-)

Fixpunktfreie Permutationen

Mit der Klasse 9a (2021/2022) haben wir versucht, alle fixpunktfreien Permutationen zu finden. Bis n=6 ist es uns gelungen. Aber wie geht es weiter. Schon der Unterschied zwischen n=5 und n=6 war nimmer groß: ca 33%

Nach was riecht das?

Ein Blick in Wikipedia enttäuscht uns!

Was zum Teufel ist: 1durche.png

Idee zum systematischen Abzählen unter Berücksichtigung der gültigen Nachbarschaften

Die folgende Idee stellt sicher, dass nur Würfelchen verwendet werden, die es tatsächlich an einem orginal gefärbten Würfel gibt und dass das feste Achsenkreuz nicht missachtet wurde: Der Würfel besteht beim Punktemuster O aus zwei Teilen, die starr sind, also nicht verändert werden können: 1. Das Kreuz der Mittelpunkte, 2. Der Ring der 6 Ringe auf den Seiten, denn die Ecken bestimmen genau, welche Kanten benachbart sein müssen.

Die einzige Freiheit ist, den Ring wie einen Mantel abzunehmen, ihn irgendwie zu drehen und wieder anzuziehen ... . Dabei dürfen allerdings kein Ring und Mittelpunkt, die aufeinander zum Liegen kommen, die gleiche Farbe haben!
Viel Möglichkeiten gibt's da ja nicht ...

Erst mal den Mantel abnehmen

tumb


Wie kann man jetzt den Mantel drehen?

Sechs Möglichkeiten, welche Ringfarbe oben ist + jeweils vier Möglichkeiten, die Mäntel dann noch um die senkrechte Achse zu drehen ... :

tumb


tumb


tumb


tumb


tumb


tumb


Und welche Punktemuster kommen jetzt raus, wenn man den Mantel wieder anzieht?

... ergibt 8 Lösungen! + 6 ungeklärte Bilder